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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 64

Calcule as integrais indefinidas abaixo

64 .   ∫ sin 2 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sin 2 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo sin 2 ⁡ x cos 4 ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x e usar a identidade trigonométrica sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x 2 e cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 . Aí temos

∫ sin ⁡ 2 x 2 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 8 ∫ sin 2 ⁡ 2 x d x + 1 8 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x

Beleza? E agora vamos aplicar a identidade trigonométrica do seno quadrado sin 2 ⁡ 2 x = 1 - cos ⁡ 4 x 2 !

Aí nossa integral fica assim

1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 x 2 d x + 1 8 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x = 1 16 ∫ d x - 1 16 ∫ cos ⁡ 4 x d x + 1 8 ∫ sin 2 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x d x

Beleza?

Agora é só integrar!

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Vamos chamar u = 4 x → d u = 4 d x e v = sin ⁡ 2 x → d v = 2 cos ⁡ 2 x d x . Aí temos

1 16 x - 1 16 . 1 4 sin ⁡ u + 1 8 . 1 2 v 3 3 + C

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = 4 x

v = sin ⁡ 2 x

Aí nossa integral

1 16 x - 1 16 . 1 4 sin ⁡ u + 1 8 . 1 2 v 3 3 + C

= 1 16 x - 1 64 sin ⁡ 4 x + 1 48 sin 3 ⁡ 2 x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 16 x - 1 64 sin ⁡ 4 x + 1 48 sin 3 ⁡ 2 x + C

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Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x