Calcule as integrais indefinidas abaixo

67 .   ∫ 1 sin 2 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 1 sin 2 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo nosso integrando assim

1 sin 2 ⁡ x . 1 cos 2 ⁡ x . 1 cos 2 ⁡ x

Usando a identidade trigonométrica fundamental

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

E também

sin 2 ⁡ x = tan 2 ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 1 + tan 2 ⁡ x

Nossa integral fica

∫ 1 + tan 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x .   1 + tan 2 ⁡ x . 1 cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 + tan 2 ⁡ x 2 tan 2 ⁡ x . sec 2 ⁡ x d x

Beleza?

Agora é só integrar! Chamando u = tan ⁡ x ,   d u = sec 2 ⁡ x d x

Temos

= ∫ 1 + u 2 2 u 2   d u = ∫ 1 u 2 + u 2 + 2 d u

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Integrando temos

- 1 u + u 3 3 + 2 u + C

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = tan ⁡ x

Aí nossa integral

- 1 u + u 3 3 + 2 u + C

= - 1 tan ⁡ x + tan 3 ⁡ x 3 + 2 tan ⁡ x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- 1 tan ⁡ x + tan 3 ⁡ x 3 + 2 tan ⁡ x + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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