Calcule as integrais indefinidas abaixo

9 .   ∫ tan 3 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ tan 3 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar usando a identidade trigonométrica da tangente

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Aí temos

tan ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1

E chamando u = sec ⁡ x , assim d u = sec ⁡ x tan ⁡ x   d x → d u u = tan ⁡ x d x

Aí nossa integral fica assim

∫ tan 3 ⁡ x d x

= ∫ - 1 + u 2 u d u = - ∫ 1 u d u + ∫ u d u

Beleza? nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Agora é só integrar!

= - ln ⁡ u + + u 2 2 + C

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = sec ⁡ x

Aí nossa integral

- ln ⁡ sec ⁡ x + + sec ⁡ x 2 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- ln ⁡ sec ⁡ x + + sec ⁡ x 2 2 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x