Calcule as integrais indefinidas abaixo:

∫ e x e 2 x + 1 d x

Passo 1

Cara, esse monte de exponencial dá medo né? Mas vem comigo, vamos conseguir!

A parada é começar reescrevendo essa integral

∫ e x e x 2 + 1 d x

Agora a gente vai fazer uma manobra, tá? Vê que aparece uma função no denominador, o e x , e a derivada dela (o e x mesmo né) em produto com d x no numerador? Quando acontece isso, é uma dica para usar uma substituição simples.

Vamos tentar! Se a gente fizer:

u = e x ,     d u d x = e x ∴ d u = e x   d x

Substituindo essas coisas na nossa integral:

∫ e x e x 2 + 1 d x = ∫ d u u 2 + 1

Passo 2

Temos essa integral para resolver:

∫ 1 u 2 + 1 d u

Mas repara que ela já tem uma primitiva direta, o a r c t g   u ! Então a gente pode escrever:

∫ 1 u 2 + 1 d u = a r c t g   u

Voltando para x :

u = e x

∫ e x e 2 x + 1 d x = a r c t g e x + C

E não esquece da constante de integração já que temos uma integral indefinida, tá? Prontinho!

Resposta

a r c t g e x + C

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