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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 6.4

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

4)

∫ x + 1 x 3   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x + 1 x 3   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x + 1 x 3 ≥ 0 ;

  2. x + 1 x 3 < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a regra da potência, temos:

∫ x + 1 x 3 d x ∴

= ∫ x x 3 d x + ∫ 1 x 3 d x ∴

= ∫ 1 x 2 d x + ∫ 1 x 3 d x ∴

= ∫ x - 2 d x + ∫ x - 3 d x ∴

= - 1 x - 1 2 x 2 + C

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x + 1 x 3 d x ∴

= ∫ - x x 3 d x - ∫ 1 x 3 d x ∴

= - ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 x 3 d x ∴

= - ∫ x - 2 d x - ∫ x - 3 d x ∴

= 1 x + 1 2 x 2 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x + 1 x 3   d x = - 1 x - 1 2 x 2 + C ,   p a r a   x + 1 x 3 ≥ 0 1 x + 1 2 x 2 + C ,   p a r a   x + 1 x 3 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x + 1 x 3   d x = - 1 x - 1 2 x 2 + C ,   p a r a   x + 1 x 3 ≥ 0 1 x + 1 2 x 2 + C ,   p a r a   x + 1 x 3 < 0

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