Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

5)

∫ x 3 2 x + 1 x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x 3 2 x + 1 x   d x

Vamos só reorganizar ela distribuindo o x 3 :

= ∫ 2 x * x 3 + x 3 x   d x ∴

= ∫ 2 x 4 + x 2   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. 2 x 4 + x 2 ≥ 0 ;
  2. 2 x 4 + x 2 < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a regra da potência, temos:

∫ 2 x 4 + x 2   d x ∴

= ∫ 2 x 4   d x + ∫ x 2   d x ∴

= 2 ∫ x 4   d x + ∫ x 2   d x ∴

= 2 x 5 5 + x 3 3 + C

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - 2 x 4 + x 2   d x ∴

= - ∫ 2 x 4   d x - ∫ x 2   d x ∴

= - 2 ∫ x 4   d x - ∫ x 2   d x ∴

= - 2 x 5 5 - x 3 3 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x 3 2 x + 1 x   d x = 2 x 5 5 + x 3 3 + C ,   p a r a   x ≥ 0 - 2 x 5 5 + x 3 3 + C ,   p a r a   x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x 3 2 x + 1 x   d x = 2 x 5 5 + x 3 3 + C ,   p a r a   2 x 4 + x 2 ≥ 0 - 2 x 5 5 + x 3 3 + C ,   p a r a   2 x 4 + x 2 < 0

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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