Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

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∫ 1 2 x - 1   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ 1 2 x - 1   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. 1 2 x - 1 ≥ 0 ;
  2. 1 2 x - 1 < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a substituição, temos:

∫ 1 2 x - 1   d x ∴

Fazendo u = 2 x - 1 ∴ d u = 2   d x , temos:

= ∫ 1 2 u   d x ∴

= 1 2 ∫ 1 u   d x ∴

= 1 2 ln ⁡ u ∴

= 1 2 ln ⁡ 2 x - 1 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - 1 2 x - 1   d x ∴

Fazendo u = 2 x - 1 ∴ d u = 2   d x , temos:

= - ∫ 1 2 u   d x ∴

= - 1 2 ∫ 1 u   d x ∴

= - 1 2 ln ⁡ u ∴

= - 1 2 ln ⁡ 2 x - 1 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ 1 2 x - 1   d x = 1 2 ln ⁡ 2 x - 1 C ,   p a r a   1 2 x - 1 ≥ 0 - 1 2 ln ⁡ 2 x - 1 + C ,   p a r a   1 2 x - 1 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 1 2 x - 1   d x = 1 2 ln ⁡ 2 x - 1 + C ,   p a r a   1 2 x - 1 ≥ 0 - 1 2 ln ⁡ 2 x - 1 + C ,   p a r a   1 2 x - 1 < 0

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