Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

15)

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. 1 x * ln ⁡ x ≥ 0 ;
  2. 1 x * ln ⁡ x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a substituição, temos:

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x ∴

Fazendo u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x   d x , temos:

= ∫ x x * u   d x ∴

= ∫ 1 u   d x ∴

= ln ⁡ u ∴

= ln ⁡ ln ⁡ x + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - 1 x * ln ⁡ x   d x ∴

Fazendo u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x   d x , temos:

= - ∫ x x * u   d x ∴

= - ∫ 1 u   d x ∴

= - ln ⁡ u ∴

= - ln ⁡ ln ⁡ x + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x = ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x ≥ 0 - ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x = ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x ≥ 0 - ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x < 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x