Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

15)

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. 1 x * ln ⁡ x ≥ 0 ;
  2. 1 x * ln ⁡ x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a substituição, temos:

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x ∴

Fazendo u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x   d x , temos:

= ∫ x x * u   d x ∴

= ∫ 1 u   d x ∴

= ln ⁡ u ∴

= ln ⁡ ln ⁡ x + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - 1 x * ln ⁡ x   d x ∴

Fazendo u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x   d x , temos:

= - ∫ x x * u   d x ∴

= - ∫ 1 u   d x ∴

= - ln ⁡ u ∴

= - ln ⁡ ln ⁡ x + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x = ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x ≥ 0 - ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 1 x * ln ⁡ x   d x = ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x ≥ 0 - ln ⁡ ln ⁡ x + C ,   p a r a   1 x * ln ⁡ x < 0

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