Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

17)

∫ x x + 1   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x x + 1   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x x + 1 ≥ 0 ;
  2. x x + 1 < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x x + 1   d x

Fazendo u = x + 1 ∴ d u =   d x , temos:

= ∫ x u   d x ∴

= ∫ u - 1 u   d x ∴

= ∫ u u   d x - ∫ u   d x ∴

= ∫ u 3 2   d x - ∫ u 1 2   d x ∴

= 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 ∴

= 2 5 x + 1 5 2 - 2 3 x + 1 3 2 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x x + 1   d x ∴

Fazendo u = x + 1 ∴ d u =   d x , temos:

= - ∫ x u   d x ∴

= - ∫ u - 1 u   d x ∴

= - ∫ u u   d x + ∫ u   d x ∴

= - ∫ u 3 2   d x + ∫ u 1 2   d x ∴

= - 2 5 u 5 2 + 2 3 u 3 2 ∴

= - 2 5 x + 1 5 2 + 2 3 x + 1 3 2 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x x + 1   d x = 2 5 x + 1 5 2 - 2 3 x + 1 3 2 + C ,   p a r a   x x + 1 ≥ 0 - 2 5 x + 1 5 2 - 2 3 x + 1 3 2 + C ,   p a r a   x x + 1 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x x + 1   d x = 2 5 x + 1 5 2 - 2 3 x + 1 3 2 + C ,   p a r a   x x + 1 ≥ 0 - 2 5 x + 1 5 2 - 2 3 x + 1 3 2 + C ,   p a r a   x x + 1 < 0

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