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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 6.126

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

26)

∫ x x 2 + 1   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x x 2 + 1   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x x 2 + 1 ≥ 0 ;

  2. x x 2 + 1 < 0 .

A partir dessa dica, a gente consegue observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x x 2 + 1   d x

Fazendo u = x 2 + 1 ∴ d u = x x 2 + 1   d x , temos:

= ∫ x u x 2 + 1 x d x ∴

= ∫ x u u x d x ∴

= ∫ u 2 d x ∴

= u 3 3 ∴

= x 2 + 1 3 3 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x x 2 + 1   d x ∴

Fazendo u = x 2 + 1 ∴ d u = x x 2 + 1   d x , temos:

= - ∫ x u x 2 + 1 x d x ∴

= - ∫ x u u x d x ∴

= - ∫ u 2 d x ∴

= - u 3 3 ∴

= - x 2 + 1 3 3 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x x 2 + 1   d x = x 2 + 1 3 3 + C ,   p a r a   x x 2 + 1 ≥ 0 - x 2 + 1 3 3 + C ,   p a r a   x x 2 + 1 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x x 2 + 1   d x = x 2 + 1 3 3 + C ,   p a r a   x x 2 + 1 ≥ 0 - x 2 + 1 3 3 + C ,   p a r a   x x 2 + 1 < 0

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