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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 6.27

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

27)

∫ x - x 2 + 1   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x - x 2 + 1   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x - x 2 + 1 ≥ 0 ;

  2. x - x 2 + 1 < 0 .

A partir dessa dica, a gente consegue observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x - x 2 + 1   d x

Fazendo u = - x 2 + 1 ∴ d u = - 2 x   d x , temos:

= - ∫ 1 2 x * x u d u ∴

= - 1 2 ∫ 1 u d u ∴

= - 1 2 2 u 1 2 ∴

= - u

= - - x 2 + 1 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x - x 2 + 1   d x ∴

Fazendo u = - x 2 + 1 ∴ d u = - 2 x   d x , temos:

= - - ∫ 1 2 x * x u d u ∴

= 1 2 ∫ 1 u d u ∴

= 1 2 2 u 1 2 ∴

= u

= - x 2 + 1 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x - x 2 + 1   d x = - - x 2 + 1 + C ,   p a r a   x - x 2 + 1 ≥ 0 - x 2 + 1 + C ,   p a r a   x - x 2 + 1 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x - x 2 + 1   d x = - - x 2 + 1 + C ,   p a r a   x - x 2 + 1 ≥ 0 - x 2 + 1 + C ,   p a r a   x - x 2 + 1 < 0

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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