b) Calcule as integrais indefinidas:

∫ x x ² - 2 x + 2 d x

Passo 1

Vamos olhar bem pro denominador da função da integral: um polinômio do segundo grau. Vamos tentar simplificar usando Bháskara. As raízes ( x 1,2 ) de x 2 - 2 x + 2 vão ser então:

x 2 - 2 x + 2 = a x ² + b x + c

x 1,2 = - b ± b ² - 4 a c 2 a

x 1,2 = 2 ± 4 - 8 2   ?

Opa, esse polinômio não tem raízes reais! Raiz par negativa não pode! Então a abordagem vai ter que ser um pouco diferente. Veja bem, se escrevermos o polinômio como:

x 2 - 2 x + 2 = x 2 - 2 x + 1 + 1 = x 2 - 2 x + 1 + 1

Podemos resolver o problema da falta de raízes! Por que? Bem, veja o polinômio:

x 2 - 2 x + 1

Fazendo:

x 2 - 2 x + 1 = a x 2 + b x + c

As raízes vão ser:

x 1,2 = 2 ± 4 - 4 2 = 1

Então, se reescrevermos o polinômio da forma:

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

E o denominador vira:

x 2 - 2 x + 2 = x - 1 2 + 1

Mudando a integral toda para:

∫ x x ² - 2 x + 2 d x = ∫ x x - 1 2 + 1 d x

Passo 2

Ok, a questão ainda não acabou. Temos que mexer um pouco mais na cara dessa integral. Vamos olhar o numerador e o denominador então:

∫ x x - 1 2 + 1 d x

Veja que agora a gente não tem mais nenhuma potência de x . Então vamos tentar completar o numerador pra que ele fique parecido com o denominador. Saca só a malandragem:

∫ x x - 1 2 + 1 d x = ∫ x - 1 + 1 x - 1 2 + 1 d x

Das propriedades das integrais, temos:

∫ x - 1 + 1 x - 1 2 + 1 d x = ∫ x - 1 x - 1 2 + 1 d x + ∫ 1 x - 1 2 + 1 d x

Agora sim da pra gente trabalhar melhor. Vamos uma integral de cada vez, beleza?

Passo 3

A primeira então que a gente vai calcular vai ser:

∫ x - 1 x - 1 2 + 1 d x

E olhe bem: temos x - 1 tanto em cima quanto em baixo! Entãose fizermos a substituição:

u = x - 1 ²  

Vamos ter que:

d u d x = 2 x - 1

d x = 1 2 d u x - 1

Substituindo na integral, temos:

∫ x - 1 x - 1 2 + 1 d x = ∫ 1 2 x - 1 u + 1 d u x - 1 = ∫ 1 2 d u u + 1

Opa, perfeito! Essa integral a gente tira direto! Vamos ter então que:

∫ 1 2 d u u + 1 = ln ⁡ u + 1 2

E desfazendo a substituição, temos:

∫ x - 1 x - 1 2 + 1 d x = ln ⁡ x - 1 ²   + 1 2

Passo 4

A segunda integral que a gente vai calcular é:

∫ 1 x - 1 2 + 1 d x

Que também é uma integral que a gente tira por substituição simples. Saca só, se escolhermos:

u = x - 1

Vamos ter que:

d u d x = 1 → d u = d x

Então a substituição já elimina qualquer termo de x que pudesse ficar pendurado aí! Aplicando na integral a substituição, temos:

∫ 1 x - 1 2 + 1 d x = ∫ 1 u 2 + 1 d u

Opa, outra integral de resolução direta! Ficamos então com:

∫ 1 u 2 + 1 d u = arctan ⁡ u

E voltando pra variável original:

∫ 1 x - 1 2 + 1 d x = arctan ⁡ x - 1  

Passo 5

Pra fechar com chave de ouro, só juntar tudo. Se:

∫ x x ² - 2 x + 2 d x = ∫ x - 1 + 1 x - 1 2 + 1 d x

E:

∫ x - 1 + 1 x - 1 2 + 1 d x = ∫ x - 1 x - 1 2 + 1 d x + ∫ 1 x - 1 2 + 1 d x

Como achamos:

∫ x - 1 x - 1 2 + 1 d x = ln ⁡ x - 1 ²   + 1 2

∫ 1 x - 1 2 + 1 d x = arctan ⁡ x - 1  

O resultado da integral vai ser:

∫ x x ² - 2 x + 2 d x = ln ⁡ x - 1 ²   + 1 2 + arctan ⁡ x - 1

Sem, claro, esquecer a cereja do bolo, que é a constante de integração!

∫ x x ² - 2 x + 2 d x = ln ⁡ x - 1 ²   + 1 2 + arctan ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ x x ² - 2 x + 2 d x = ln ⁡ x - 1 ²   + 1 2 + arctan ⁡ x - 1 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x