b) Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos olhar bem pro denominador da função da integral: um polinômio do segundo grau. Vamos tentar simplificar usando Bháskara. As raízes () de vão ser então:
Opa, esse polinômio não tem raízes reais! Raiz par negativa não pode! Então a abordagem vai ter que ser um pouco diferente. Veja bem, se escrevermos o polinômio como:
Podemos resolver o problema da falta de raízes! Por que? Bem, veja o polinômio:
Fazendo:
As raízes vão ser:
Então, se reescrevermos o polinômio da forma:
E o denominador vira:
Mudando a integral toda para:
Passo 2
Ok, a questão ainda não acabou. Temos que mexer um pouco mais na cara dessa integral. Vamos olhar o numerador e o denominador então:
Veja que agora a gente não tem mais nenhuma potência de . Então vamos tentar completar o numerador pra que ele fique parecido com o denominador. Saca só a malandragem:
Das propriedades das integrais, temos:
Agora sim da pra gente trabalhar melhor. Vamos uma integral de cada vez, beleza?
Passo 3
A primeira então que a gente vai calcular vai ser:
E olhe bem: temos tanto em cima quanto em baixo! Entãose fizermos a substituição:
Vamos ter que:
Substituindo na integral, temos:
Opa, perfeito! Essa integral a gente tira direto! Vamos ter então que:
E desfazendo a substituição, temos:
Passo 4
A segunda integral que a gente vai calcular é:
Que também é uma integral que a gente tira por substituição simples. Saca só, se escolhermos:
Vamos ter que:
Então a substituição já elimina qualquer termo de que pudesse ficar pendurado aí! Aplicando na integral a substituição, temos:
Opa, outra integral de resolução direta! Ficamos então com:
E voltando pra variável original:
Passo 5
Pra fechar com chave de ouro, só juntar tudo. Se:
E:
Como achamos:
O resultado da integral vai ser:
Sem, claro, esquecer a cereja do bolo, que é a constante de integração!