Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(7) ∫ e - x 1 + e - x d x e ∫ x 4 x d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar 1 + e - x de u .

u = 1 + e - x

A derivada de u , será:

d u = - e - x   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

- ∫ 1 + u d u

Fazendo uma nova substituição por variável

v = 1 + u

d v = 1 d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

- ∫ v d v = ∫ u - 5 d u = - 2 3 v 3 2 + C

Substituindo o valor de v , temos:

∫ x 4 x d x = - 2 3 v 3 2 + C

∫ x 4 x d x = - 2 3 ( 1 + e - x ) 3 2 + C

Passo 3

O primeiro passo para resolver a segunda integral é fazer uma simplificação.

∫ x 4 x d x = 1 2 ∫ x x x d x = 1 2 ∫ x d x

Passo 4

Agora ficou muuuuito fácil.

1 2 ∫ x d x = 1 2 2 3 x 3 / 2 = 2 6 x 3 / 2 = 1 3 x 3 / 2 + C 2

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

- 2 3 ( 1 + e - x ) 3 2 + C

1 3 x 3 / 2 + C 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x