Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(4) ∫ e x ( e x + 1 ) 2 d x e ∫ ( e x ) 2 1 + e x d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar e x + 1 de u .

u = e x + 1

A derivada de u , será:

d u = e x   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ e x ( e x + 1 ) 2 d x

Substituindo a nova variável temos

∫ 1 ( u ) 2 d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

∫ 1 ( u ) 2 d x = ∫ u - 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1 = u - 1 - 1 = - 1 u

Substituindo o valor de u , temos:

- 1 e x + 1 + C

∫ e x sin ⁡ 1 - e x d x = - 1 e x + 1 + C

Passo 3

O primeiro passo para resolver a segunda integral é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar 1 + e x de u .

u = 1 + e x

A derivada de u , será:

d u = e x   d x

Passo 4

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ ( e x ) 2 1 + e x d x

Substituindo a nova variável temos

∫ u - 1 u d u = ∫ u u d u - ∫ 1 u d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

∫ u - 1 u d u = ∫ u u d u - ∫ 1 u d u = u - ln ⁡ u + C

Substituindo o valor de u , temos:

∫ ( e x ) 2 1 + e x d x = 1 + e x - ln ⁡ 1 + e x + C

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

- 1 e x + 1 + C

1 + e x - ln ⁡ 1 + e x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x