Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(10) ∫ sin ⁡ ( π / 2 ) ( x ) 2 d x e ∫ 2 x ( 1 - 3 x ) 1 / 2 d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo para resolver a primeira integral é fazer uma substituição. Vamos chamar u = 1 - 3 x de u .

u = π / x

A derivada de u , será:

d u = - π x 2   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

- ∫ sin ⁡ ( u ) π d u

Substituindo a nova variável temos

- 1 π ∫ sin ⁡ ( u ) d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

1 π cos ⁡ ( u )

Substituindo o valor de u , temos:

1 π cos ⁡ ( π / x ) + C

Passo 3

O primeiro passo para resolver a segunda integral é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar 1 - 3 x de u .

u = 1 - 3 x

A derivada de u , será:

d u = - 3   d x

d x = - d u 3

Passo 4

Agora ficou mais fácil!!

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

2 ∫ u - 1 9 u 1 / 2 d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

2 9 ∫ u - 1 u 1 / 2 d u = 2 9 ∫ u 1 / 2 d u - 2 9 ∫ 1 u 1 2 d x = 2 9 2 3 u 3 2 - 2 u 1 2

Substituindo o valor de u , temos:

2 9 2 3 ( 1 - 3 x ) 3 2 - 2 ( 1 - 3 x ) 1 2

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

1 π cos ⁡ ( π / x ) + C

2 9 2 3 ( 1 - 3 x ) 3 2 - 2 ( 1 - 3 x ) 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x