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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 3.3

Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(3) ∫ e x sin ⁡ 1 - e x d x e ∫ 2 + x 1 + x 2 d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essas integrais podem assustar, mas vocês vão ver que são bem tranquilas. Vamos ver?

O primeiro passo é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar 1 - e x de u .

u = 1 - e x

A derivada de u , será:

d u = - e x   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o calculo de maneira mais rápida e prática.

∫ e x sin ⁡ 1 - e x d x

Substituindo a nova variável temos

- ∫ sin ⁡ u d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

- - cos ⁡ u + C

Substituindo o valor de u , temos:

- - cos ⁡ 1 - e x + C

∫ e x sin ⁡ 1 - e x d x = cos ⁡ 1 - e x + C

Passo 3

Para a segunda integral, vamos separar a soma.

∫ 2 + x 1 + x 2 d x

∫ 2 1 + x 2 d x + ∫ x 1 + x 2 d x

Integrando a primeira temos

∫ 2 1 + x 2 d x = 2 arctan ⁡ x + C

Para resolver a segunda, ∫ x 1 + x 2 , devemos fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar 1 + x 2 de u .

u = 1 + x 2

A derivada de u , será:

d u = 2 x   d x

Passo 4

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ x 1 + x 2

Substituindo a nova variável temos

1 2 ∫ 1 u d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

1 2 ln ⁡ | u | + C

Substituindo o valor de u , temos:

1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 | C

∫ 2 + x 1 + x 2 d x = 2 arctan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 | C

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

cos ⁡ 1 - e x + C

2 arctan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 | C

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