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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 3.4

Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(4) ∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x d x e ∫ x 4 3 - x 3 d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo para a primeira integral é fazer uma substituição. Vamos chamar ln ⁡ ( x ) de u .

u = ln ⁡ ( x )

A derivada de u , será:

d u = 1 x d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ cos ⁡ ( u ) d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

∫ cos ⁡ ( u ) d u = sin ⁡ ( u ) + C

Substituindo o valor de u , temos:

∫ cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) d u = sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + C

Passo 3

O primeiro passo para resolver a segunda integral é fazer uma substituição nessa integral. Porém a substituição aqui vai ser um pouco mais complexa. Preste atenção nos passos.

∫ x 4 3 - x 3 d x

u = 3 - x 3

A derivada de u , será:

d u = - 3 x   d x

Vamos manipular essas variáveis

u - 3 = - x 3

d u d x = - 3 x

d u 3 = - x d x

Passo 4

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ x 4 3 - x 3 d x

∫ x 4 3 - x 3 d x = ∫ x 4 ( 3 - x 3 ) 1 / 2 d x = - ∫ x 3 3 - x 3 1 2 - x d x = ∫ u - 3 u 1 2 d u 3  

Integrando a nossa “nova” função, temos:

∫ ( u 3 / 2 - 3 u 1 2 ) d u = 1 2 u 3 2 + 1 3 2 + 1 - 3 u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 2 u 5 2 5 2 - 3 u 3 2 3 2 + C

1 2 u 5 2 5 2 - 3 u 3 2 3 2 + C = 1 2 2 5 u 5 / 2 - 2 u 3 2 + C = 1 5 u 5 2 - 2 u 3 2 + C

Substituindo o valor de u , temos:

1 5 3 - x 3 5 2 - 2 3 - x 3 3 2 + C

Ufaaaaaa acabou!

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

sin ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + C

1 5 3 - x 3 5 2 - 2 3 - x 3 3 2 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x