Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(4) ∫ e 1 x 2 ( x ) 3 d x e ∫ sin ⁡ ( x ) ( 1 + sin 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo para a primeira integral é fazer uma substituição. Vamos chamar x 2 de u .

u = x 2

A derivada de u , será:

d u = 2 x   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

1 2 ∫ e 1 / u ( u ) 2 d u

Vamos substituir por uma nova variável

v = 1 u

d v = - 1 u 2 d v

- 1 2 ∫ e v d v

Integrando a nossa “nova” função e substituindo o valor de u , temos:

- 1 2 e 1 x 2 + C

Passo 3

O primeiro passo para resolver a segunda integral é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar 1 + sin 2 ⁡ ( x ) de u .

u = 1 + sin 2 ⁡ ( x )

A derivada de u , será:

d u = 2 sin ⁡ x sin' ⁡ ( x )

d u = 2 sin ⁡ x cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( 2 x )

Passo 4

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | + C

Substituindo o valor de u , temos:

ln ⁡ | 1 + sin 2 ⁡ ( x ) | + C

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

- 1 2 e 1 x 2 + C

ln ⁡ | 1 + sin 2 ⁡ ( x ) | + C

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