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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 3.5

Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(5) ∫ ln ⁡ ( x ) - 2 x d x e ∫ sin ⁡ ( 2 x ) ( 3 + cos 2 ⁡ ( x ) ) d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo é separar essa integral em duas.

∫ ln ⁡ ( x ) - 2 x d x = ∫ ln ⁡ x x d x - ∫ 2 x d x

O primeiro passo é fazer uma substituição na primeira integral. Vamos chamar ln ⁡ ( x ) de u .

u = ln ⁡ ( x )

A derivada de u , será:

d u = 1 x   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ ln ⁡ ( x ) x d x

Substituindo a nova variável temos

∫ u d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

∫ u d u = u 2 2 + C

Substituindo o valor de u , temos:

ln 2 ⁡ ( x ) 2 + C

∫ ln ⁡ ( x ) x d x = ln 2 ⁡ ( x ) 2 + C

Passo 3

Agora vamos calcular nossa segunda integral

- ∫ 2 x d x = - 2 ∫ 1 x d x = - 2 ln ⁡ x + C

Passo 4

Por fim, podemos somar os resultados

∫ ln ⁡ ( x ) - 2 x d x = ln 2 ⁡ ( x ) 2 - 2 ln ⁡ x + C

Passo 5

Para a segunda integral, vamos reescrever usando identidade trigonométrica a expressão.

cos ⁡ ( x ) = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x )

∫ sin ⁡ ( 2 x ) ( 3 + cos 2 ⁡ ( x ) ) d x = ∫ 2 sin ⁡ ( 2 x ) 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x ) d x = ∫ 2 sin ⁡ ( 2 x ) 1 + cos ⁡ 2 x + 6 d x = ∫ 2 sin ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) + 7 d x

Passo 6

Podemos substituir cos ⁡ ( 2 x ) + 7 por u .

u = cos ⁡ ( 2 x ) + 7

d u = 1 2 ( sin ⁡ ( 2 x ) ) d x

Substituindo a nova variável

2 - ∫ 1 2 u d u = 2 - 1 2 ∫ 1 u d u = 2 - 1 2 ln ⁡ u

Substituindo o valor de u .

2 - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x + 7 = - ln ⁡ | cos ⁡ 2 x + 7 | + C

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

ln 2 ⁡ ( x ) 2 - 2 ln ⁡ x + C

- ln ⁡ | cos ⁡ 2 x + 7 | + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x