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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 3.6

Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

(6) ∫ x ( x 2 + 1 ) 5 d x e ∫ 2 x 1 + x 4 d x

Passo 1

Faaala, galeraaaa! Tudo bem por aí?

Bom, essa integral pode assustar, mas vocês vão ver que é bem tranquila. Vamos lá?

O primeiro passo é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar x 2 + 1 de u .

u = x 2 + 1

A derivada de u , será:

d u = 2 x   d x

Passo 2

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ x ( x 2 + 1 ) 5 d x

Substituindo a nova variável temos

1 2 ∫ 1 ( u ) 5 d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

1 2 ∫ 1 ( u ) 5 d x = 1 2 ∫ u - 5 d u = 1 2 u - 5 + 1 - 5 + 1 = 1 2 u - 4 - 4 = 1 2 - 1 4 u 4

Substituindo o valor de u , temos:

1 2 ( - 1 4 x 2 + 1 4 + C

∫ x ( x 2 + 1 ) 5 d x = - 1 8 x 2 + 1 4 + C

Passo 3

O primeiro passo para resolver a segunda integral é fazer uma substituição nessa integral. Vamos chamar x 2 de u .

u = x 2

A derivada de u , será:

d u = 2 x   d x

Passo 4

Agora ficou muuuuito fácil.

Só precisamos substituir pela nova variável na integral. Assim vamos fazer o cálculo de maneira mais rápida e prática.

∫ 2 x 1 + x 4 d x

Substituindo a nova variável temos

2 ∫ 1 2 ( 1 + u 2 ) d u

Integrando a nossa “nova” função, temos:

∫ 1 1 + u 2 d u = arctan ⁡ ( u ) + C

Substituindo o valor de u , temos:

∫ 1 1 + u 2 d u = arctan ⁡ ( x 2 ) + C

Prontinhooo! Até a próxima!

Resposta

- 1 8 x 2 + 1 4 + C

arctan ⁡ ( x 2 ) + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x