Calcule a integral.

∫ 1 + x 2 x d x

Passo 1

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que x = tg ⁡ θ , e θ varia no intervalos - π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = sec 2 ⁡ θ d θ .

Agora, achando o valor da nossa hipotenusa x 2 + 1 por meio da substituição de x , temos:

x 2 + 1 = sec ⁡ θ

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ 1 + x 2 x d x = ∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ d θ = ∫ ( csc ⁡ θ + sec ⁡ θ tg ⁡ θ )   d θ

= - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + sec ⁡ θ + C = - ln ⁡ 1 + x 2 x + 1 x + 1 + x 2 1 + C

= - ln ⁡ 1 + x 2 + 1 x + 1 + x 2 + C    

Resposta

∫ 1 + x 2 x d x = - ln ⁡ 1 + x 2 + 1 x + 1 + x 2 + C    

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