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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP. Cálculo 1. 2022.1 – 5º Noturno. P3. Questão 3.

Calcule a integral

∫ x + x 3 ln ⁡ 1 + x 2 d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, vamos calcular a integral da função x + x 3 ln ⁡ 1 + x 2 .

A princípio é muito difícil calcular a integral desse jeito como ela está, então temos que fazer alguma manipulação para facilitar nossos cálculos.

Olhando para a função, o que você acha que podemos fazer? 🤔

Se em x + x 3 a gente colocar x em evidência podemos escrever nossa função como

x 1 + x 2 ln ⁡ 1 + x 2

Assim a gente consegue ver algo em comum, não é?

1 + x 2 aparece multiplicando l n e dentro de l n .

Agora podemos calcular a integral dessa função!

Bora lá! 😁

Passo 2

Podemos aplicar o método de integração u d u se a gente substituir u por 1 + x 2 e d u d x = 2 x , ou x d x = d u 2

Com isso, nossa integral será

∫ x 1 + x 2 ln ⁡ 1 + x 2 d x → ∫ u ln ⁡ u 2 d u

Tirando a constante para fora, temos

1 2 ∫ u ln ⁡ u d u

Agora podemos aplicar o método de integração por partes. Usamos este método quando temos o produto de duas funções como por exemplo

∫ f ' u g u d u = f u g u - ∫ f u g ' u d u

Nesse caso, f ' u = u , logo f u = u 2 / 2 . g u = ln ⁡ u , logo g ' u = 1 / u  

Dessa forma, nossa integral será

1 2 ∫ u ln ⁡ u d u = 1 2 u 2 2 ln ⁡ u - ∫ u 2 2 1 u   d u

Simplificando um pouquinho

1 2 ∫ u ln ⁡ u d u = u 2 ln ⁡ u 4 - 1 2 ∫ u 2   d u

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Pelo método de integração polinomial onde somamos 1 na potência da variável e dividimos a variável pelo resultado da soma na sua potência, a integral de u 2 é

1 2 ∫ u ln ⁡ u d u = u 2 ln ⁡ u 4 - 1 2 u 1 + 1 2 1 + 1

1 2 ∫ u ln ⁡ u d u = u 2 ln ⁡ u 4 - 1 2 u 2 4

Simplificando o resultado

1 2 ∫ u ln ⁡ u d u = u 2 ln ⁡ u 4 - u 2 8

Não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que substituir u por 1 + x 2 de volta

∫ x + x 3 ln ⁡ 1 + x 2 d x = 1 + x 2 2 ln ⁡ 1 + x 2 4 - 1 + x 2 2 8 + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x + x 3 ln ⁡ 1 + x 2 d x = 1 + x 2 2 ln ⁡ 1 + x 2 4 - 1 + x 2 2 8 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x