UNICAMP. Cálculo 1. 2022.1 – 5º Vespertino. P3. Questão 3.
Calcule a integral
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
No enunciado dessa questão temos apenas uma integral que temos que calcular.
A integral no caso é dada por
Essa integral do jeito que veio ao mundo é muito complicada de calcular, então temos que fazer alguma coisa pra simplificar a nossa função de integração possibilitando nosso cálculo.
Tem ideia do que podemos fazer pra nos ajudar?? 🤔
Existe um método de substituição que consiste em substituir uma parte ou uma função dentro da nossa função de integração pra simplificar nossa integral.
O que precisamos fazer é encontrar um meio de substituir algo na nossa integral por e derivar esse algo para substituir por .
Bora ver como é na pratica? 😁
Passo 2
Se a gente substituir por , derivando com relação a , temos
Isolando , temos
Organizando nossa função de integração de modo a evidenciar , temos
Fazendo as substituições de e
Ainda podemos simplificar um pouquinho mais nossa integral se dividirmos nossa função em frações parciais.
Fatorando o denominador da função, temos
Dessa forma, dividindo em frações parciais
Tirando o MMC do lado direito para deixar os dois lados com o mesmo denominador
Calculando a distributiva de e
Simplificando os denominadores
Por igualdade de polinômios, podemos dizer que os termos de mesma cor são iguais
Ou seja, temos um sistema onde
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
A partir do sistema que desenvolvemos antes, podemos tirar da primeira equação que
Substituindo essa informação na segunda equação, temos
Portanto, temos que
Com isso, nossas frações parciais são
Dessa forma, nossa integral vai ter a seguinte cara
Como a integral da soma é a soma das integrais, podemos escrever como
Lembrando do teorema fundamental do cálculo, temos que a integral dada por
Onde e são constantes quaisquer.
Podemos ver algo semelhante, não é? 😉
Passo 4
Comparando com as nossas integrais, temos que para a integral de
Já para a integral da função
Juntando tudo, temos que
Não podemos deixar o resultado final em função de , então temos que substituir por de volta, assim ficamos com
Pelas propriedades de logaritmos, a diferença entre é igual a divisão das suas funções compostas, ou seja
E esse é o resultado da nossa integral!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
