Calcule a integral

∫ ln ⁡ x x ( l n x 2 + 2 ln ⁡ x - 3 d x  

Passo 1

Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Nessa integral, precisamos resolver primeiro pelo método da substituição. Vamos dar uma cara nova pra nossa função. Substituindo u = ln ⁡ x   e d u = 1 x d x

∫ ln ⁡ x x ( l n x 2 + 2 ln ⁡ x - 3 d x = ∫ u u 2 + 2 u - 3 d x  

Pra nossa nova integral, existem muitas maneiras de resolver. A que vamos adotar pra essa resolução vai ser o método de frações parciais. Ela é uma boa estratégia pra quando temos um integral vindo de uma divisão de polinômios. Você sabe utilizar esse método? Vem comigo que vou te ensinar!

Passo 2

Pelo método de frações parciais, primeiro vamos observar o denominador e escrever ele de outra forma, dividindo-o em produtos de polinômios mais simples. Temos que primeiro então fatorar o nosso denominador. Por Bhaskara, temos que as raízes de

u 2 + 2 u - 3

São:

u = - 2 ± 4 + 12 2

Ou seja:

u = 1 e u = - 3

Assim nosso denominador pode ser escrito como:

( u - 1 ) ( u + 3 )

Vamos chamar cada produto de uma f N ( u ) . Dessa forma:

f 1 u =

f 2 u = u + 3

Show, denominador dividido. E o numerador, o que a gente faz com ele? Agora vem a parte mais fácil. Vamos chamar eles de A e B. Pois pelo método de frações parciais, nossa função vai ficar no seguinte formato:

u u 2 + 2 u - 3 = A f 1 ( u ) + B f 2 ( u )

Logo, u u 2 + 2 u - 3 = A u - 1 + B u + 3

Realizando o produto, temos:

u = A u + 3 + B ( u - 1 )

Logo,

u = u A + B + 3 A - B

Onde a gente obtém o sistema:

A + B = 1 3 A - B = 0

Passo 3

Pra esse sistema, resolvendo-o, obtemos:

A = 1 4 , B = 3 4

Assim, substituindo de volta:

∫ u u 2 + 2 u - 3 = ∫ A u - 1 + B u + 3   d u

∫ u u 2 + 2 u - 3 = ∫ 1 / 4 u - 1 + 3 / 4 u + 3   d u

Resolvendo essa integral, obtemos:

∫ 1 / 4 u - 1 + 3 / 4 u + 3   d u = 1 4 ln ⁡ u - 1 + 3 4 ln ⁡ u + 3 + C

Substituindo de volta, u = ln ⁡ x , concluímos que:

∫ ln ⁡ x x ( l n x 2 + 2 ln ⁡ x - 3 d x = 1 4 ln ⁡ ln ⁡ x - 1 + 3 4 ln ⁡ ln ⁡ x + 3 + C  

E é isso turminha! Qualquer dúvida que ainda tiver restado na questão, manda um feedback pra gente que seria o máximo te ajudar! Bons estudos e até a próxima!

Resposta

1 4 ln ⁡ ln ⁡ x - 1 + 3 4 ln ⁡ ln ⁡ x + 3 + C  

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