Calcule a integral abaixo:

a) ∫ e x - e - x e x + e - x d x

Passo 1

Realizar uma substituição simples

Como ta cheio de e nessa integral, pra ficar mais fácil, vamos tentar sumir com eles ok? Pra isso, bora fazer a seguinte substituição:

u = e x + e - x

Opa, mas que substituição doida, pra que isso? Bem, como a integral e a derivada de e x é ele mesmo, na hora de escrever d x em função de d u provavelmente teremos coisas penduradas que poderemos usar na integral. Além disso, se fizermos essa substituição, teremos na integral “algo sobre u ”, o que pode acabar saindo na forma de l n . Sem mais delongas, vamos partir pras contas:

u = e x + e - x

d u d x = d e x d x + d e - x d x

Como a derivada de e - x pela regra da cadeia é:

d e - x d x = e - x ⋅ - x ' = - e - x

Então:

d u d x = e x - e - x

d x = 1 e x - e - x d u

Opa, o numerador da integral apareceu ai! Vamos por então o resultado dentro da integral, que vai ficar:

∫ e x - e - x e x + e - x d x =   ∫ e x - e - x u 1 e x - e - x d u = ∫ d u u

Passo 2

Resolver a primeira integral e voltar a variável original

Agora ficou mais tranquilo né? Os e x sumiram no final das contas e ficamos com uma integral bem mais simples! Vamos lá calcular e terminar essa questãocom um sorriso no rosto:

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Mas como:

u = e x + e - x

Nossa integral vira, finalmente:

∫ e x - e - x e x + e - x d x =   ln ⁡ e x + e - x + C

Resposta

∫ e x - e - x e x + e - x d x =   ln ⁡ e x + e - x + C

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