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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Integração por Substituição Simples

Calcule a integral

∫ 0 π / 2 x cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

Temos uma integral com limites de integração, vamos fazer a integral indefinida e depois colocar os limites de integração

∫ x cos ⁡ x 2 d x

Temos um cara meio doidinho dentro do cosseno, mas repara que a derivada de x 2 é 2 x que é bem parecido com o que temos do lado de fora, então vamos fazer uma substituição

u = x 2

Derivando

d u = 2 x d x

Na integral temos x d x então temos que jogar aquele 2 para o outro lado

d u 2 = x d x

Passo 2

Substituindo na integral vamos ter

∫ x cos ⁡ x 2 d x = ∫ cos ⁡ u d u 2 = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

Vamos resolver essa nova integral

1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u + C

Voltando par a variável x

1 2 sen ⁡ u + C = 1 2 sen ⁡ x 2 + C

Passo 3

Vamos ver os limites de integração agora, não precisamos nos preocupar com a constante nesse caso.

∫ 0 π / 2 x cos ⁡ x 2 d x = 1 2 sen ⁡ x 2 x = 0 π / 2 = 1 2 sen ⁡ π 2 2 - 1 2 sen ⁡ 0 2

⇒ 1 2 sen ⁡ π 2 - 1 2 sen ⁡ 0 = 1 2 . 1 - 0 = 1 2

Resposta

1 2

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x