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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 5

Calcule a integral definida envolvendo valor absoluto

∫ 0 2 2 x - 1 d x

Lembrete:

2 x - 1 = - 2 x - 1 ,   x < 1 2 2 x - 1 ,   x ≥ 1 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral definida:

∫ 0 2 2 x - 1 d x

Só que o próprio enunciado nos dá uma dica:

2 x - 1 = - 2 x - 1 ,   x < 1 2 2 x - 1 ,   x ≥ 1 2

Ou seja, como a nossa integral está contida no intervalo de 0 a 2 , então vamos ter que dividir a nossa integral da seguinte forma por conta do módulo:

∫ 0 2 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 2 - 2 x - 1 d x + ∫ 1 2 2 2 x - 1 d x

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral:

∫ 0 1 2 - 2 x - 1 d x ∴

= ∫ 0 1 2 - 2 x   d x + ∫ 0 1 2 1   d x ∴

= - 2 x 2 2 + x 1 / 2 0 ∴

= - x 2 + x 1 / 2 0 ∴

= - 1 2 2 + 1 2 ∴

= - 1 4 + 1 2 ∴

= 1 4

Passo 3

Resolvendo a segunda integral, temos:

∫ 1 2 2 2 x - 1 d x ∴

= ∫ 1 2 2 2 x d x - ∫ 1 2 2 1 d x ∴

= 2 x 2 2 - x 2 1 / 2 ∴

= 2 * 2 2 2 - 2 - 2 * 1 2 2 2 - 1 2 ∴

= 9 4

Assim, somando as duas integrais, temos:

∫ 0 2 2 x - 1 d x = ∫ 0 1 2 - 2 x - 1 d x + ∫ 1 2 2 2 x - 1 d x ∴

∫ 0 2 2 x - 1 d x = 1 4 + 9 4 ∴

∫ 0 2 2 x - 1 d x = 5 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 2 2 x - 1 d x = 5 2

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