Calcule a integral definida a seguir:

∫ - 1 0 1 x 2 + 2 x + 2 d x

Passo 1

Olha bem pro denominador da função que queremos integrar. Ele é quase um quadrado perfeito ne? Poxa, seria tão bom ter algo do tipo ( a + b ) ² nesse denominador pra gente poder usar o método da substituição. Será que a gente consegue fazer isso aparecer ali de alguma forma? A resposta é sim! Olha só como:

1 x 2 + 2 x + 2 = 1 x + 1 2 + 1

Show! Agora vamos substituir esse x + 1 por uma outra variável:

x + 1 = u

d u = 1 d x

Passo 2

Fazendo a substituição numa integral indefinida obtemos

∫ 1 u 2 + 1 d u = arctan ⁡ u + c

E voltando pra variável original teremos:

∫ 1 x + 1 2 + 1 d x = arctan ⁡ ( x + 1 ) + c

Passo 3

Agora que calculamos a integral indefinida, podemos usar o resultado na integral definida que queremos calcular.

∫ - 1 0 1 x 2 + 2 x + 2 d x = [ arctan ⁡ x + 1 ] - 1 0 = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 = π 4

Passo 4

Resposta

π 4

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