Calcule a integral definida ∫ 0 4 x x 2 + 9   d x :

Passo 1

Vamos começar calculando a integral indefinida:

∫ x x 2 + 9   d x

Testando uma substituição simples:

u = x 2 + 9

d u d x = 2 x

E então a integral fica:

∫ x u d u 2 x = ∫ 1 2 u   d u

E essa integral é:

∫ 1 2 u   d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 2

Agora é só colocar o x de volta substituir os limites de integração:

u = x 2 + 9

∫ 0 4 x x 2 + 9 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 4 0

1 2 ln ⁡ 25 - 1 2 ln ⁡ 9 = 1 2 ln ⁡ 5 2 - ln ⁡ 3 2

Vamos usar uma propriedade do logaritmo:

ln ⁡ a b = b . ln ⁡ a

Então:

1 2 ln ⁡ 5 2 - ln ⁡ 3 2 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 3

E outra propriedade do logaritmo:

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Então:

∫ 0 4 x x 2 + 9 = ln ⁡ 5 3

Resposta

O valor da integral é ln ⁡ 5 3 .

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