b) Calcule a integral
Passo 1
Eta, um módulo dentro de raiz. Eu sei que dá um calafrio ver integrais assim, mas fica tranquilo que a gente tira de letra. Vamos lembrar que uma função modular tem essa carinha:
Como os limites de integração são e , pra gente considerar os intervalos e , o truque vai ser dividir esse limite de integração em dois, saca só:
Assim a primeira integral, que tem limites de até , tem limites dentro do intervalo . Assim, vale a expressão:
E olha só olha lá: mesma ideia pra segunda integral. Os limites de a estão dentro do intervalo , valendo então a expressão:
E cara, olha que dahora, sumimos com o módulo! A integral do enunciado então fica:
E agora é só partir pra resolução de cada uma das duas integrais!
Passo 2
Vamos calcular a primeira:
Esse sinal de menos dentro da raiz é um pouco complicado não é? Mas a gente consegue tirar ele daí se fizermos uma substituição simples, quer ver? Dá uma olhada:
A integral fica:
Agora é tranquilo. Valendo a regra:
Temos então:
Passo 3
Agora pra calcular a segunda integral:
Basta a gente repetir a mesma regra, e vamos ficar com:
Somando o resultado das duas integrais temos: