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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Origem do Exercício

Calcule:

ln ⁡ ∫ 0 1 e a r c t g x 1 + x 2 d x + ∫ 0 1 d x

Passo 1

A integral pode parecer intimidadora à primeira vista, mas é bem tranquila! É só a gente lembrar dessa derivada aqui:

d d x a r c t g x = 1 1 + x 2

Percebeu a semelhança? Isso sugere fortemente que a gente use uma substituição:

u = a r c t g ( x )

d u d x = 1 1 + x 2         ⇒           d x = 1 + x 2   d u

Vamos substituir isso na integral indefinida (mexer com os limites de integração agora iria criar muita confusão!)

∫ e a r c t g x 1 + x 2 d x + ∫ d x

∫ ( 1 + x 2 ) e u 1 + x 2 d u + ∫ d x

∫ e u   d u + ∫ d x = e u + x + C = e a r c t g ( x ) + x + C

Passo 2

Ok, agora vamos substituir os limites de integração x = 0 e x = 1 :

I = e a r c t g 1 + 1 - e a r c t g 0 - 0

E vamos tomar as soluções mais simples para o a r c t g ( x ) :

a r c t g 1 = π 4

a r c t g 0 = 0

Nesse caso ficamos com:

I = e π 4 + 1 - e 0 = e π 4 + 1 - 1 = e π 4

Como a questão pediu o logaritmo natural dessa integral, vamos fazer:

ln ⁡ I = ln ⁡ e π 4 = π 4

E esse é o valor da nossa integral!

Resposta

A integral vale π 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x