c) Calcule a integral

∫ sin 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x

Passo 1

Vamo que vamo, temos uma integral trigonométrica com potências de seno e cosseno. Nesse caso, o pulo do gato pra gente resolver essa questão e partir pro abraço vai ser notar o seguinte:

  • As duas funções tem a mesma expressão dentro (no caso, π x )
  • A derivada das funções seno e cosseno dão respectivamente cosseno e -seno

Isso dá uma ideia boa: uma subsitutição simples. Saca só:

u = sin ⁡ π x → d u d x = π   cos ⁡ π x → d x = d u π   cos ⁡ π x

Realizando essa substituição, nossa integral fica:

∫ sin 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = ∫ u 2 cos ⁡ π x d u π   cos ⁡ π x

∫ sin 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = ∫ u 2 π d u

Passo 2

Agora que simplificamos a integral, é só a gente resolver! Dá regra:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C   ; s e   a ≠ - 1

Temos então:

∫ u 2 π d u = u 2 + 1 π 2 + 1 =   u 3 3 π

Voltando a substituição simples, temos:

u = sin ⁡ π x

∫ sin 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = sin 3 ⁡ π x 3 π + C

Resposta

∫ sin 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = sin 3 ⁡ π x 3 π + C

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