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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

a) Calcule a integral

∫ x 1 - x d x

Passo 1

Quando vemos uma integral com uma raiz, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é ver se não dá pra fazer uma substituição simples com coisas dentro dela, beleza? Olha só então, se a gente fizer a substituição:

u = 1 - x

Vamos ter então que:

x = 1 - u

1 - x = u = u 1 2

E também vamos ter que:

d u d x = - 1 → d x = - d u

Opa, isso facilita nossa vida, quer ver? Saca só:

∫ x 1 - x d x = ∫ 1 - u u 1 2 - d u = ∫ u u 1 2 - 1 u 1 2 d u  

= ∫ u 1 - 1 2 - u - 1 2 d u = ∫ u 1 2 - u - 1 2   d u

Passo 2

Agora que simplificamos a integral, é só a gente resolver! Dá regra:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C   ; s e   a ≠ - 1

Temos então:

∫ u 1 2 - u - 1 2   d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 - u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 =   2 u 3 2 3 - 2 u 1 2 1

Voltando a substituição simples, temos:

u = 1 - x

∫ x 1 - x d x = 2 3 1 - x 3 2 - 2 1 - x 1 2 + C

Resposta

∫ x 1 - x d x = 2 3 1 - x 3 2 - 2 1 - x 1 2 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x