Calcule:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 7 n ⋅ 3 i n + 1

Passo 1

Vamos tentar escrever esse limite na forma de uma integral na forma:

∫ a b f x d x

Precisamos achar a , b e f x .

Para tal, precisamos escrever o limite na forma: l i m n → ∞ ∑ i = 1 n f a + i Δ x Δ x

Vamos tentar pegar essa parte que está fora da raiz e usá-la como Δ x : Δ x = 7 n = b - a n

Passo 2

Considerando b = 8 e a = 1 , satisfazemos e equação acima e obtemos:

f a + i Δ x = f 1 + i Δ x = f 1 + 7 i n

Considerando o argumento da função como x : x = 1 + 7 i n ⟹ x = 7 i + n n ⟹ 7 i + n = x n ⟹ i = x n - n 7

Observando o limite:

l i m n → ∞ ∑ i = 1 n f a + i Δ x Δ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 7 n ⋅ 3 i n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 i n + 1 ⋅ Δ x

Comparando, vemos que:

f 1 + 7 i n = 3 i n + 1

Substituindo o valor de i :

f x = 3 n ⋅ x - 1 n 7 + 1 = 3 7 x - 1 + 1 = 3 7 x - 3 7 + 1 = 3 7 x + 4 7

Passo 3

Pronto, então temos todos os elementos de uma integral. Podemos escrevê-la.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 7 n ⋅ 3 i n + 1 = ∫ 1 8 3 7 x + 4 7 d x

Para resolver o limite, resolvemos a integral. Para tal, consideramos: u = 3 7 x + 4 7

Levando a:

d u = 3 7 d x u m i n = 1 ,       u m a x = 4

∫ 1 8 3 7 x + 4 7 d x = 7 3 ∫ 1 4 u d u = 7 3 ∫ 1 4 u 1 / 2 d u

= 7 3 ⋅ u 3 / 2 3 / 2 1 4 = 14 9 8 - 1 = 98 9

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 7 n ⋅ 3 i n + 1 = 98 9

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Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x