Calcule:

∫ 0 1 x e 1 - x 2 d x

Passo 1

Como podemos perceber, o que está no numerador da fração é proporcional à derivada do que está no expoente. Esse tipo de visão só se pega com a prática mesmo... Fazendo uma substituição simples:

v = 1 - x 2 → d v = - 2 x d x

d x = - d v 2 x

Plugando na integral, vamos trabalhar com a indefinida (sem botar limites de integração):

I * = ∫ x e v d v - 2 x

I * = - 1 2 ∫ e - v d v

Esta última integral nós sabemos fazer:

I * = - 1 2 - e - v + C

I * = e - v 2 + C

Passo 2

Pondo de volta no problema original e substituindo de volta para x :

I = e - 1 - x 2 2 0 1

Substituindo limites:

I = 1 2 e 0 - e - 1

Resposta

1 2 1 - 1 e

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