Calcule a seguinte integral:

∫ cos ⁡ ( x ) x sin ² ⁡ x d x

Passo 1

Observe que tanto c o s s e n o quanto s e n o estão utilizando o valor x . Vamos testar se a seguinte substituição vai nos ajudar.

u = x

d u = 1 2 x d x → 2 d u = 1 x d x

2 ∫ cos ⁡ u sin ² ⁡ u d u

Substituição bem-seucedida!! Conseguimos tirar o radical do denominador.

Passo 2

Agora faremos mais uma substituição, pois temos a função c o s s e n o e a função s e n o , e uma é a derivada da outra. Isso nos dá quase certeza de que a substituição a seguir será benéfica.

v = sin ⁡ u

d v = cos ⁡ u   d u

2 ∫ 1 v ² d v

Agora é fácil de resolver. Essa integral equivale a:

- 2 v + C

Passo 3

Só falta voltar para a variável original.

- 2 v + C = - 2 sin ⁡ u + C = - 2 sin ⁡ x + C

Resposta

- 2 sin ⁡ x + C

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