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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 2º Estágio - 2022.1, Questão 4.

4 – Calcule a seguinte integral definida:

∫ 1 2 6 - 6 t i → + 3 t j → + 4 t 2 k → d t

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão queremos obter a integral do campo vetorial r → t = 6 - 6 t i → + 3 t j → + 4 t 2 k →

Mas como fazemos isso? 🤔🤔

A integral de um vetor é dada por

∫ a b r → t d t = ∫ a b r i t d t , ∫ a b r j t d t , ∫ a b r k t d t

Resultando em um outro vetor.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Aplicando para o nosso caso, sabendo que r i = 6 - 6 t , r j = 3 t e r k = 4 / t 2 ...

∫ 1 2 6 - 6 t , 3 t , 4 t 2 d t = ∫ 1 2 6 - 6 t d t , ∫ 1 2 3 t d t , ∫ 1 2 4 t 2 d t

Integrando pelo método de integração polinomial, temos

∫ 1 2 6 - 6 t d t = 6 t - 6 t 2 2 = 6 t - 3 t 2 t = 1 2 = - 3

∫ 1 2 3 t d t = 3 t 3 2 3 2 = 2 t 3 / 2 t = 1 2 = 4 2 - 2

∫ 1 2 4 t 2 d t = - 4 t - 1 t = 1 2 = 2

Substituindo na integral de r → t , temos

∫ 1 2 6 - 6 t , 3 t , 4 t 2 d t = - 3,4 2 - 2,2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 1 2 6 - 6 t , 3 t , 4 t 2 d t = - 3,4 2 - 2,2

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