Calcule a seguinte integral:

∫ x 2 x + 1 d x

Passo 1

Pra não ficar com esse termo chato 2 x + 1 dentro da raiz vamos simplificar nossa integral com a substituição simples:

u = 2 x + 1 → d u = 2 d x → d x = 1 2 d u

Assim temos que

2 x = u - 1

→ x = u - 1 2

Então a integral vai ficar:

∫ u - 1 2 u . 1 2 d u = 1 4 ∫ u - 1 u d u

Passo 2

O que vai dar:

1 4 ∫ u u - 1 u d u = 1 4 ∫ u 1 2 - u - 1 2 d u

= 1 4 u 3 2 3 2 - u 1 2 1 2 + C = 1 4 2 3 u 3 2 - 2 u + C

= 1 6 u 3 2 - 1 2 u + C

Passo 3

Pra finalizar, voltando pra variável x :

1 6 2 x + 1 3 2 - 1 2 2 x + 1 + C

Resposta

1 6 2 x + 1 3 2 - 1 2 2 x + 1 + C

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