UFSCAR – Cálculo 1 – P3 – Questão 2b
Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral aqui para resolver
A pergunta de milhões: qual técnica de integração usar?
Você percebe que ali dentro tem duas exponenciais?? Então: lembrando que a exponencial é a derivada dela mesma
Sendo assim, o local onde antes a função era partida (no caso ) agora é entre , e nosso intervalo de integração passa pelo , então precisamos tomar cuidado!
Então a ideia aqui é o seguinte: usar a técnica de substituição simples para calcular essa integral!
Mas relaxa, vou fazer com você!
Passo 2
Precisamos resolver essa integral
Já conversamos sobre usar o método da substituição, então bora lá:
Agora vamos substituir:
Ficamos com uma integral com um polinômio de segundo grau embaixo! Isso significa uma coisa: frações parciais!
Passo 3
Vamos começar reescrevendo em termos das raízes:
Assim conseguimos fatorar nosso polinômio
Beleza? E agora? Agora vamos aplicar a técnica de frações parciais para encontrar as frações que deram origem a essa razão e assim conseguir integrar mais facilmente
Tranquilo até aqui?
Desenvolvendo mais um pouco temos
E para que essa igualdade seja verdadeira
Aí da primeira equação
E substituindo na segunda
Assim temos que o coeficiente
E aí ficamos com essas duas integrais
são dois logaritmos, então
Terminou por aqui? Claro que não! Precisamos retornar para ! Lembrando da nossa substituição
Temos
Agora sim! Terminamos!
Espero ter ajudado!
=D