Calcule as seguintes integrais

b )   ∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral aqui para resolver

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x

A pergunta de milhões: qual técnica de integração usar?

Você percebe que ali dentro tem duas exponenciais?? Então: lembrando que a exponencial é a derivada dela mesma

Sendo assim, o local onde antes a função era partida (no caso x = 0 ) agora é entre x = ± 2 , e nosso intervalo de integração passa pelo 2 , então precisamos tomar cuidado!

Então a ideia aqui é o seguinte: usar a técnica de substituição simples para calcular essa integral!

Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

Precisamos resolver essa integral

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x

Já conversamos sobre usar o método da substituição, então bora lá:

u = e - x

d u = - e - x d x → d x = - d u e - x

Agora vamos substituir:

∫ 1 ( 1 + 2 e x - e - x ) . - d u e - x = ∫ - d u e - x + 2 - e - 2 x = ∫ d u u 2 - u - 2

Ficamos com uma integral com um polinômio de segundo grau embaixo! Isso significa uma coisa: frações parciais!

Passo 3

Vamos começar reescrevendo em termos das raízes:

u 2 - u - 2 = 0

u = - ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 . 1 ( - 2 ) 2 = 1 ± 3 2

u = 2   o u   u = - 1

Assim conseguimos fatorar nosso polinômio

u 2 - u - 2 = ( u - 2 ) ( u + 1 )

1 u 2 - u - 2 = 1 ( u - 2 ) ( u + 1 )

Beleza? E agora? Agora vamos aplicar a técnica de frações parciais para encontrar as frações que deram origem a essa razão e assim conseguir integrar mais facilmente

1 ( u - 2 ) ( u + 1 ) = A u - 2 + B u + 1 = A u + 1 + B ( u - 2 ) ( u - 2 ) ( u + 1 )

Tranquilo até aqui?

Desenvolvendo mais um pouco temos

1 ( u - 2 ) ( u + 1 ) = u A + B + ( A - 2 B ) ( u - 2 ) ( u + 1 )

E para que essa igualdade seja verdadeira

A + B = 0 A - 2 B = 1

Aí da primeira equação

A = - B

E substituindo na segunda

- B - 2 B = 1 → B = - 1 3

Assim temos que o coeficiente A

A = - - 1 3 = 1 3

E aí ficamos com essas duas integrais

∫ d u u 2 - u - 2 = ∫ A u - 2 + B u + 1 d x = 1 3 ∫ 1 u - 2 d u - 1 3 ∫ 1 u + 1 d u

são dois logaritmos, então

∫ d u u 2 - u - 2 = 1 3 ln ⁡ ( u - 2 ) - 1 3 ln ⁡ ( u + 1 )

Terminou por aqui? Claro que não! Precisamos retornar para x ! Lembrando da nossa substituição

u = e - x

Temos

∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x = 1 3 ln ⁡ ( e - x - 2 ) - 1 3 ln ⁡ e - x + 1 + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado!

=D

Resposta

1 3 ln ⁡ ( e - x - 2 ) - 1 3 ln ⁡ e - x + 1 + C

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Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x