2 - Calcule as seguintes integrais.

f) ∫ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

O que temos que fazer nesse problema é calcular a integral da função ln ⁡ x x . Pode parecer um bicho de sete cabeças essa integral, mas se usarmos o método correto vai ficar muito mais fácil!

Tem algum método em mente? 🤔

Podemos reescrever a função ln ⁡ x x como 1 x · ln ⁡ x , assim podemos ver mais facilmente que 1 x é a derivada de ln ⁡ x , então se chamarmos ln ⁡ x de u podemos aplicar o método de substituição.

Esse método consiste em reescrever nossa integral como ∫ u d u assim integrando de maneira mais simples.

Bora ver como fica no nosso caso? 😁

Passo 2

Já vimos que ln ⁡ x será substituído por u , assim, derivando u com relação a x , vamos obter

d u d x = d ln ⁡ x d x = 1 x

Isolando d u ...

d u = 1 x d x

Substituindo u e d u na nossa integral, temos

∫ ln ⁡ x 1 x d x → ∫ u d u

Integrando pelo método de integração polinomial, somando 1 na potência de u e o dividindo pela soma dessa potência...

∫ u d u = u 1 + 1 1 + 1 = u 2 2

Não podemos deixar o resultado em função de u , portanto vemos voltar u para ln ⁡ x (sem esquecer da constante de integração).

∫ ln ⁡ x x d x = ln ⁡ x 2 2 + C

∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x 2 + C

É isso! Essa é o resultado da integral que tínhamos no enunciado!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ ln ⁡ x x d x = l n 2 x 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x