UFPE – Cálculo 1 – 2° EE – 2021.2 – Questão 3a
Calcule as seguintes integrais definidas:
a)
Passo 1
Oiiii, é sempre um prazer encontrar com vocês aqui! Prontinhos para mais um exercício???
Nessa questãozinha de prova temos que encontrar o valor da integral definida:
Opaaa, como estamos trabalhando com integrais definidas agora. A resposta em questão será um valor numérico e não mais uma função primitiva como tínhamos quando estávamos resolvendo integrais indefinidas. Tudo ok?
Show! Então como vamos resolver essa integral??
Passo 2
Em integrais, existem diversos métodos e estratégias para se resolver integrais tanto definidas quanto indefinidas. Cabe a nós encontrarmos o método/estratégia que se aplica melhor de acordo com a minha função .
Sendo
Onde,
: É uma função conhecida;
: São os limites de integração da minha integral;
Como na função da nossa questão possui o termo é legal tentarmos substituir esse por uma letrinha para facilitar nossos cálculos. Assim, primeiramente utilizaremos o método da substituição.
Precisamos encontrar o valor de também. Galerinha, assim que eu comecei a estudar esse método ficava na dúvida se precisava encontrar sempre a derivada da letrinha a qual eu estava substituindo. E sim, sempre precisa! Porque precisamos “eliminar” os resquícios dos termos anteriores, então é fundamental já ter isso em mente.
Logo,
E como para encontrarmos a derivada de uma função polinomial utilizamos a seguinte estratégia:
Temos que:
Passo 3
Agora vamos substituir esses termos na nossa integral:
E como fizemos a substituição de para , é necessário também fazer essa substituição para os limites de integração, uma vez que a princípio esses valores se referem a e não a .
Para
Para
Agora, vamos reescrever a nossa integral definida.
Passo 4
Resolvendo a nossa integral, temos que:
Agora precisamos aplicar os limites de integração!!! Essa parte segue a seguinte lógica:
Onde,
: É a função a se integrar (função do enunciado);
: Limite inferior de interação;
: Limite superior de integração;
: É a função primitiva (Que encontramos antes de aplicar os limites de integração);
Portanto,
Vejam que como temos uma integral definida não se tem mais a necessidade de colocar a constante de integração, já que a solução é única.
Tudo certo?? Ótimo!
Bora fazer mais questões de integrais definidas!