UFPE – Cálculo 1 – 2° EE – 2021.2 – Questão 3b
Calcule as seguintes integrais definidas:
b)
Passo 1
Hellooo, gente bonita! Bora responder essa questão de prova? Sim, isso mesmo caiu uma dessas em uma prova da UFPE e também pode cair na sua. Então vamos garantir o 10!!!
Temos nessa questão que calcular o valor da integral definida:
Bom, mas o que é uma integral definida?? A integral definida de maneira geral é uma operação matemática que nos permite calcular a área sob uma curva, ou seja, conseguimos calcular a área de figuras bem diferentonas!
Então,
Onde,
: É uma função conhecida;
: São os limites de integração da minha integral;
A nossa questão trouxe como o e como é meio complicado determinar de cara qual será a integral dessa belezura de função é necessário utilizarmos alguns métodos/ estratégias. A princípio vamos começar manipulando matematicamente essa função seno.
De acordo com a relação fundamental da trigonometria,
Assim,
Caso não tenha dado para perceber ainda estamos fazendo essas manipulações com o intuito de achar uma expressão mais legalzinha de ser trabalhada. Desse modo, vamos substituir o resultado encontrado na nossa integral.
Bom galerinha, o ponta pé inicial já foi dado! Agora seria bem legal que vocês tentassem desenvolver sozinhos a partir daqui. Nos encontramos nos próximos passos para conferirmos o resultado. Ok?
Passo 2
Como a nossa expressão ainda não tá tão fácil de ser trabalhada é legal tentarmos utilizar o método da substituição para encontrarmos algo da nossa zona de conforto, o que vocês acham??
Então,
Derivando...
Show! Agora vamos substituir os resultados obtidos até então na nossa integral.
Lembrando que constantes multiplicativas podem ser retiradas da integral sem comprometer o seu resultado final! Isso é uma propriedade das integrais.
Além disso, como utilizamos o método da substituição para a nossa função inicial é importante substituirmos também os limites de integração, uma vez que esses se referiam a variável e agora estamos trabalhando com a variável .
Sendo assim,
Para o limite de integração inferior :
Para o limite de integração superior :
Logo,
Aqui é possível utilizarmos mais uma propriedade referente agora aos limites de integração. Essa propriedade diz basicamente que é possível inverter os limites de integração se multiplicarmos a integral toda por .
Passo 3
Então pimpolhos, precisamos agora encontrar o valor de:
E para isso vamos utilizar o seguinte macete:
Reescrevendo nossa integral...
Maravilha! Agora as coisas tão mais agradáveis!
Passo 4
Para fechar com chave de ouro, precisamos aplicar os limites de integração, já que nossa integral é definida!
A aplicação dos limites de integração não é tãoooo complicada, basta seguirmos a seguinte ideia:
Belezinha? Então até então temos essa função e precisamos apenas substituir os valores de cada limite de integração. Bora lá!
Conclui-se com isso que:
Portanto meu povo, vimos algumas formas de resolver integrais definidas, mas é sempre importante ver e resolver o máximo de questões possíveis, então cuida e não vacila.
Beijinhos e até mais!