Calcule as seguintes integrais definidas:

c) ∫ 1 2 x 2 - 2 x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral definida da função f x = x 2 - 2 x no intervalo de 1 a 2 .

Pra isso, vamos buscar sempre simplificar a função pra cair em uma forma polinominal que a gente consiga integrar usando a regrinha da potência:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vamos lá!

Passo 2

Vamos escrever nossa integral:

∫ 1 2 x 2 - 2 x d x

Pela propriedade, a integral da soma ou subtração é igual a soma ou subtração das integrais, então temos:

∫ 1 2 x 2 d x - ∫ 1 2 2 x d x

Colocando as constantes pra fora da integral, podemos reescrever na forma:

1 2 ∫ 1 2 x d x - 2 ∫ 1 2 1 x d x

E aí podemos aplicar a regrinha da potência na integral da esquerda, mas repare que na integral da esquerda isso geraria uma indeterminação ( x - 1 + 1 - 1 + 1 = x 0 0 ). Mas não se preocupe porque essa é uma integral tabelada que tem o valor de ln ⁡ x . Assim, temos:

1 2 x 2 + 1 2 + 1 1 2 - 2 ln ⁡ x 1 2

1 2 x 2 2 1 2 - 2 ln ⁡ x 1 2

Aplicando os intervalos de integração:

1 4 2 2 - 1 4 1 2 - 2 ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 1

Mas ln ⁡ 1 = 0 , então temos:

= 3 4 - 2 ln ⁡ 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 4 - 2 ln ⁡ 2

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x