Calcule as seguintes integrais definidas:

e) ∫ 0 1 x e - x 2 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral definida da função f x = x e - x 2 no intervalo de 0 a 1 .

Pra isso, vamos buscar sempre simplificar a função de modo que a gente consiga cair numa forma polinominal pra integrar usando a regrinha da potência ou em alguma integral já conhecida e tabelada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos escrever nossa integral:

∫ 0 1 x e - x 2 d x

Pra facilitar nossa vida vamos fazer uma substituição chamando:

u = - x 2

Dessa forma:

d u = - 2 x   d x → x d x = - d u 2

q u a n d o   x = 0 → u = 0

q u a n d o   x = 1 → u = - 1

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 1 x e - x 2 d x

= - 1 2 ∫ 0 - 1 e u d u

Como o limite de integração inferior acabou ficando maior que o superior, vamos inverter trocando o sinal (pela propriedade da integral):

= - - 1 2 ∫ - 1 0 e u d u = 1 2 ∫ - 1 0 e u d u

A integral de e é igual a ela mesma, então temos:

1 2 ( e u ) - 1 0

Aplicando o intervalo de integração:

1 2 ( e 0 - e - 1 )

= 1 2 1 - e - 1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 1 - e - 1

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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