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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

a) Calcule as seguintes integrais definidas:

∫ 1 4 1 + ln ⁡ x x d x

Passo 1

Eita, uma ln ⁡ x dentro de uma raiz? Puts, e agora? Calma gafanhoto, vamos olhar bem pra isso aí. Lembra da derivada de ln ⁡ x ?

d d x ln ⁡ x = 1 x

Então olha só que substituição esperta que dá pra fazer:

u = 1 + ln ⁡ x

d u d x = 1 x

d x = x   d u

Como a gente mudou a variável, vamos mudar também os limites de integração, beleza? Vamos ter então:

x = 1 → u = 1 + ln ⁡ 1 = 1

x = 4 → u = 1 + ln ⁡ 4

Reescrevemos nossa integral então:

∫ 1 4 1 + ln ⁡ x x d x = ∫ 1 1 + ln ⁡ 4 u x x   d u = ∫ 1 1 + ln ⁡ 4 u d u

Passo 2

Ok, reescrevemos a integral. Agora é só calcular. Pra isso, da uma olhada:

u = u 1 2

Mais fácil de olhar assim sem a raiz né? Então vamos ter:

∫ 1 1 + ln ⁡ 4 u d u = ∫ 1 1 + ln ⁡ 4 u 1 2 d u = 2 u 3 2 3 u = 1 u = 1 + ln ⁡ 4

2 u 3 2 3 u = 1 u = 1 + ln ⁡ 4 = 2 1 + ln ⁡ 4 3 2 3 - 2 3 = 2 3 1 + ln ⁡ 4 3 - 1

Resposta

∫ 1 4 1 + ln ⁡ x x d x =   2 3 1 + ln ⁡ 4 3 - 1

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x