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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:

  1. ∫ e x e 2 x + 2 e x + 2 d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o problema é bem direto e pede para resolvermos a seguinte integral

∫ e x e 2 x + 2 e x + 2 d x

Agora temos que escolher o melhor método de integração para resolve-la!

Repara que podemos reescreve-la assim,

∫ e x e 2 x + 2 e x + 2 d x = ∫ e x e x + 1 2 + 1 d x

Opaaa! Já consigo enxergar uma relação de derivada e função. Então vamos tentar a substituição simples

Bora lá!

Passo 2

Para resolver a integral,

∫ e x e x + 1 2 + 1 d x

Vamos chamar,

u = e x + 1

Logo,

d u = e x d x

Com isso, podemos reescrever a integral assim,

∫ e x e x + 1 2 + 1 d x = ∫ d u u 2 + 1

Agora vamos resolver essa integral!

Passo 3

Então pessoal, para quem não lembra, temos aqui a integral do arcotangente. Ou seja,

∫ d u u 2 + 1 = a r c t g u + C

Onde C é a nossa constante de integração.

E calma que ainda não acabamos. Tinhamos que resolver uma integral em função de x , então temos que voltar de u para x .

Lembra que

u = e x + 1

Logo,

∫ e x e x + 1 2 + 1 d x = a r c t g e x + 1 + C

Prontinho!

Resposta

a r c t g e x + 1 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x