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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 4b

Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada

∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x

Bom, para resolvermos, vamos fazer uma substituição. Vamos dizer que:

t = 2 x + 3 → d t = 2 d x

Substituindo:

∫ ln ⁡ t d t 2

Vamos dar uma arrumada:

∫ ln ⁡ t d t 2 = 1 2 ∫ ln ⁡ t d t  

Show, mas ainda não conseguimos resolver de forma direta. Vamos precisar fazer uma integração por partes.

Passo 2

Vamos lá:

1 2 ∫ ln ⁡ t d t  

∫ u d v   = u v - ∫ v d u  

Com isso, vamos dizer que:

u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t

d v = 1 d t → v = t

Substituindo:

1 2 ∫ ln ⁡ t d t   = 1 2 ln ⁡ t t - ∫ t 1 t d t  

1 2 ∫ ln ⁡ t d t   = 1 2 ln ⁡ t t - ∫ d t  

1 2 ∫ ln ⁡ t d t   = t 2 ln ⁡ t - 1

Ok, mas agora precisamos voltar para x :

t = 2 x + 3

t 2 ln ⁡ t - 1 = 2 x + 3 2 ln ⁡ 2 x + 3 - 1 + C

Resposta

2 x + 3 2 ln ⁡ 2 x + 3 - 1 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x