Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada

∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x

Bom, para resolvermos, vamos fazer uma substituição. Vamos dizer que:

t = 2 x + 3 → d t = 2 d x

Substituindo:

∫ ln ⁡ t d t 2

Vamos dar uma arrumada:

∫ ln ⁡ t d t 2 = 1 2 ∫ ln ⁡ t d t  

Show, mas ainda não conseguimos resolver de forma direta. Vamos precisar fazer uma integração por partes.

Passo 2

Vamos lá:

1 2 ∫ ln ⁡ t d t  

∫ u d v   = u v - ∫ v d u  

Com isso, vamos dizer que:

u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t

d v = 1 d t → v = t

Substituindo:

1 2 ∫ ln ⁡ t d t   = 1 2 ln ⁡ t t - ∫ t 1 t d t  

1 2 ∫ ln ⁡ t d t   = 1 2 ln ⁡ t t - ∫ d t  

1 2 ∫ ln ⁡ t d t   = t 2 ln ⁡ t - 1

Ok, mas agora precisamos voltar para x :

t = 2 x + 3

t 2 ln ⁡ t - 1 = 2 x + 3 2 ln ⁡ 2 x + 3 - 1 + C

Resposta

2 x + 3 2 ln ⁡ 2 x + 3 - 1 + C

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