Calcule:

∫ 0 π 2 sen ⁡ x . c o s ⁡ ( x ) 1 + sen 2 ⁡ ( x ) 3   d x

(a) - 1 / 2

(b) 0

(c) x + 1

(d) 1

(e) 3.4 1 3 - 3 4

Passo 1

Não existe fórmula para resolver uma integral como essa, temos que ir segundo nosso bom senso.

Vamos tentar uma substituição:

u = sen 2 ⁡ x

Pela regra da cadeia:

d u d x = 2 sen ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x )

Opa, parece bem útil. Vamos colocar isso na integral:

∫ sen ⁡ x . c o s ⁡ ( x ) 1 + sen 2 ⁡ ( x ) 3 d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x 1 + u 3 d u 2 s e n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) =   ∫ 1 2 d u 1 + u 3

Ok, estamos quase chegando em uma integral fácil de resolver.

Passo 2

Vamos escrever assim:

1 2 ∫ d u 1 + u 3 = 1 2 ∫ 1 + u - 1 3   d u

Isso é praticamente a integral de um polinômio! Se você não consegue visualizar isso de cara, faça mais uma substituição:

s = u + 1         ⇒         d s d u = 1

De forma que:

1 2 ∫ 1 + u - 1 3   d u = 1 2 ∫ s - 1 3   d s = 3 4 s 2 3

Pronto! Agora é só substituir tudo de volta:

3 4 s 2 3 = 3 4 1 + u 2 3 = 3 4 1 + sen 2 ⁡ x 2 3

Passo 3

Só ficou faltando substituir os limites de integração x = 0 e x = π 2 , fazendo isso vamos encontrar o seguinte valor para a nossa integral I :

I = 3 4 1 + sen 2 ⁡ π 2 2 3 - 3 4 1 + sen 2 ⁡ 0 2 3

I = 3 4 2 2 3 - 3 4 1 2 3

I = 3 4 3 4 - 3 4 = 3 4 ( 4 3 - 1 )

Pronto, esse é o valor da nossa integral!

Resposta

Letra (e).

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x