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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 1 – Alternativa o)

Calcule:

o )   ∫ 0 2 π sin 5 ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora para mais uma!

Para essa questão vamos utilizar algumas relações trigonométricas que permitirão que identifiquemos substituições simples! Beleza? No final vamos ficar com integrais nas quais será somente necessário aplicar uma primitiva! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que vale a pena fazer é utilizar a conhecida relação trigonométrica:

sin 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 2 x = 1 → sin 2 ⁡ 2 x = 1 - cos 2 ⁡ 2 x           ( 1 )

Ou seja, nossa integral toma a forma:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ 2 x 1 - cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ ( 2 x ) d x - ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ 2 x cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Vamos continuar expandindo, beleza?

Passo 3

Vamos aplicar (1) novamente, temos:

∫ 0 2 π sin 3 ⁡ ( 2 x ) d x - ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x = ∫ 0 2 π sin ⁡ ( 2 x ) ( 1 - cos 2 ⁡ ( 2 x ) ) d x - ∫ 0 2 π sin ⁡ 2 x 1 - cos 2 ⁡ 2 x cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Ou seja, precisamos resolver a seguinte integral:

∫ 0 2 π sin ⁡ ( 2 x ) d x - 2 ∫ 0 2 π sin ⁡ 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x + ∫ 0 2 π sin ⁡ 2 x cos 4 ⁡ ( 2 x ) d x

Para este conjunto de integrais teremos que fazer algumas substituições simples! Saca só!!

Passo 4

Fazendo a substituição u = cos ⁡ ( 2 x ) e d u = - 2 sin ⁡ ( 2 x ) , temos:

∫ 0 2 π sin ⁡ ( 2 x ) d x + ∫ u ( 0 ) u ( 2 π ) u 2 d u - 1 2 ∫ u ( 0 ) u ( 2 π ) u 4 d u

Eu não fiz nada na primeira integral porquê ela já está no formato de uma primitiva! Agora, as outras duas também estão! Bora lá!

Passo 5

Podemos utilizar que:

∫ u ( 0 ) u ( 2 π ) u n d u = u n + 1 n + 1 ​ u ( 0 ) u ( 2 π )

Com n = 2 e n = 4 , temos:

∫ 0 2 π sin ⁡ ( 2 x ) d x + u 3 3 u ( 0 ) u ( 2 π ) - 1 2 u 5 5 u ( 0 ) u ( 2 π )

Estamos quase acabando! Precisamos identificar a primitiva na primeira e voltar a variável original nas outras duas! Vamos lá!

Passo 6

A primitiva da primeira integral é tal que:

∫ 0 2 π sin ⁡ ( 2 x ) d x = - 1 2 cos ⁡ 2 x ​ 0 2 π

E, usando u = cos ⁡ ( 2 x ) , temos:

- 1 2 cos ⁡ 2 x 0 2 π + cos 3 ⁡ 2 x 3 0 2 π - 1 2 cos 5 ⁡ 2 x   5 0 2 π = - 1 2 1 - 1 + 1 3 1 - 1 - 1 10 1 - 1 = 0

Resumindo:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ ( 2 x ) d x = 0

Mais uma alternativa para a lista! Bora que bora continuar! Até a próxima!

Resposta

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ ( 2 x ) d x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x