Calcule:

l )   ∫ tan 2 ⁡ ( 2 t ) sec 4 ⁡ ( 2 t ) d t

Passo 1

Mais uma! Bora lá!!

Para essa integral vamos utilizar uma relação trigonométrica que irá permitir que apliquemos uma substituição simples em nosso integrando, de forma a obter algumas integrais identificáveis em termos de primitivas! Sigam-me os bons!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é utilizar a seguinte relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ 2 t + 1 = sec 2 ⁡ 2 t

De forma que temos:

∫ tan 2 ⁡ 2 t sec 4 ⁡ 2 t d t = ∫ tan 2 ⁡ 2 t tan 2 ⁡ 2 t + 1 sec 2 ⁡ 2 t d t = ∫ tan 4 ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t + ∫ tan 2   ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t

Por incrível que pareça, ambas estas integrais podem ser resolvidas por substituição simples! Saca só!

Passo 3

Temos que fazendo a substituição u = tan ⁡ ( 2 t ) e d u = 2 sec 2 ⁡ ( 2 t ) d t , obtendo:

∫ tan 4 ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t + ∫ tan 2   ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t = 1 2 ∫ u 4 d u + 1 2 ∫ u 2 d u

Aqui precisamos identificar algumas primitivas, belezinha?

Passo 4

Vamos utilizar o seguinte:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Para a primeira integral temos n = 4 e para a segunda temos n = 2 , portanto:

1 2 ∫ u 4 d u + 1 2 ∫ u 2 d u = u 5 10 + u 3 6 + C

Que em nossa variável original é:

∫ tan 2 ⁡ ( 2 t ) sec 4 ⁡ ( 2 t ) d t = tan 5 ⁡ 2 t 10 + tan 3 ⁡ 2 t 6 + C

Mais uma alternativa já era! Estamos com tudo! Bora Bora!!! Até jajá!

Resposta

∫ tan 2 ⁡ ( 2 t ) sec 4 ⁡ ( 2 t ) d t = tan 5 ⁡ 2 t 10 + tan 3 ⁡ 2 t 6 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x